សមីការ - វាគឺជាអ្វី? និយមន័យឧទាហរណ៍

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃសាលានៃគណិតវិទ្យាដែលជាកូនជាលើកដំបូងស្ដាប់ពាក្យ "សមីការ" នេះ។ តើវាជាអ្វី, ព្យាយាមយល់ជាមួយគ្នា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងគិតអំពីប្រភេទនិងវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយ។

គណិតវិទ្យា។ សមីការ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមផ្តល់ជូននូវការដោះស្រាយជាមួយនឹងគំនិតនៃអ្វីវាជាអ្វី? ដូចដែលមានចែងនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាជាច្រើននៃគណិតវិទ្យាសមីការ - វាជាការមួយចំនួននៃកន្សោមនៅចន្លោះដែលអ្នកពិតជាគួរតែចុះហត្ថលេខានៃសមភាពនេះ។ នៅក្នុងកន្សោមទាំងនេះមានតួអក្សរ, ដែលគេហៅថាអថេរ, តម្លៃនៃការដែលត្រូវបានរកឃើញហើយត្រូវតែត្រូវបានមាន។

អថេរគឺជាអ្វី? គុណលក្ខណៈប្រព័ន្ធនេះថាការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ល្អនៃអថេរគឺ:

• សីតុណ្ហភាពខ្យល់;
• កំណើននៃកុមារ
• ទំងន់និងដូច្នេះនៅលើ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, ពួកគេត្រូវបានចាត់តាំងដោយអក្សរដូចជា X, a, b, c ... ជាធម្មតាភារកិច្ចនៃគណិតវិទ្យានេះគឺមានដូចខាងក្រោម: រកឃើញសមីការតម្លៃ។ នេះមានន័យថាអ្នកត្រូវការដើម្បីស្វែងរកតម្លៃអថេរទាំងនេះ។

ប្រភេទសត្វ

សមីការ (នោះគឺយើងបានពន្យល់ក្នុងវគ្គមុន) អាចនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម:

• លីនេអ៊ែរ;
• ការ៉េ;
• គូប;
• ពិជគណិត;
• transcendental ។

ដើម្បីស្វែងយល់បន្ថែមអំពីគ្រប់ប្រភេទ, ពិចារណាគ្នាដោយឡែកពីគ្នា។

សមីការលីនេអ៊ែរ

នេះគឺជាប្រភេទដំបូងដែលយល់ឱ្យបានច្បាស់សិស្សសាលា។ ពួកគេបានដោះស្រាយដោយស្មើភាពឆាប់រហ័សនិងងាយស្រួល។ ដូច្នេះសមីការលីនេអ៊ែរ, វាគឺជាអ្វី? ពាក្យនេះនៃសំណុំបែបបទនេះ: S = គ។ ដូច្នេះមិនច្បាស់លាស់ណាស់ដូច្នេះយើងបានផ្តល់នូវឧទាហរណ៍មួយចំនួន: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6 ។

សូមឱ្យយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃសមីការនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការដើម្បីប្រមូលទិន្នន័យទាំងអស់ស្គាល់នៅលើដៃមួយនិងមិនស្គាល់ផ្សេងទៀត: X = 26/2; X = 40/5; X = 6 / 1.2 ។ នៅទីនោះត្រូវបានគេប្រើច្បាប់បឋមនៃគណិតវិទ្យា: មួយ * គ = អ៊ីមែល, គនេះ = e / មួយ; មួយ = e / s បានទេ។ ក្នុងគោលបំណងដើម្បីបញ្ចប់ការដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះយើងបានអនុវត្តសកម្មភាពមួយ (ក្នុងករណីនេះចែក) X = 13; X = 8; X = 5 ។ ទាំងនោះជាមេរៀនក្នុងការគុណឥឡូវមើលបាននៅការដកចេញនេះនិងលើសពីនេះទៀត: x + 3 = 9; 5-10X = 15 ។ ទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ថាត្រូវបានផ្ទេរនៅក្នុងទិសដៅមួយ: X = 9-3; X = 20/10 ។ យើងបានដំណើរការសកម្មភាពចុងក្រោយ: X = 6; x = 2 ។

វ៉ារ្យ៉ង់ផងដែរគឺអាចធ្វើទៅបាននៃសមីការបន្ទាត់, ដែលជាកន្លែងដែលអថេរច្រើនជាងមួយ:-2y = 2x 4 ។ ក្នុងគោលបំណងដើម្បីដោះស្រាយ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីបន្ថែម 2y ផ្នែកមួយគ្នានេះយើងទទួលបាន 2x-2y + + 2y = 4-2u, ដូចដែលយើងបានឃើញនៅលើជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើនិង -2u + + 2y បានកាត់បន្ថយ, ដូច្នេះយើងកំពុងចាកចេញជាមួយ: 2x = 4 -2u ។ ការបែងចែកជំហានចុងក្រោយជាផ្នែកមួយគ្នានៃការទាំងពីរនោះយើងទទួលបានចម្លើយ: X គឺដកពីរ y ។

បញ្ហាជាមួយសមីការនេះត្រូវបានរកឃើញសូម្បីតែនៅក្នុង Rhind គណិតវិទ្យា Papyrus ។ នោះហើយគឺជាបញ្ហាមួយចំនួននិងមួយភាគបួននៃការផ្តល់ឱ្យចំនួនសរុប 15 ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះយើងបានសរសេរសមីការដូចខាងក្រោម: X បានបូកស្មើដប់ប្រាំ X បានទីបួន។ យើងមើលឃើញឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃ សមីការលីនេអ៊ែរ ដំណោះស្រាយសម្រាប់ការសរុបយើងទទួលបានចម្លើយ: x = 12 ។ ប៉ុន្តែបញ្ហានេះនៅអាចដោះស្រាយវិធីមួយទៀតគឺអេហ្ស៊ីបឬជាវាត្រូវបានហៅថានៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា, វិធីនៃការរំពឹងទុកមួយ។ នៅលើដើម papyrus ដែលបានប្រើដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោម: យកចំនួនបួននិងត្រីមាសរបស់វានោះគឺមួយ។ សរុបមកពួកគេបានផ្តល់ឱ្យប្រាំ, ដប់ប្រាំគឺឥឡូវនេះនឹងត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនសរុបនេះយើងទទួលបានបីជាសកម្មភាពចុងក្រោយនៃការទាំងបីគុណបួន។ យើងទទួលបានចម្លើយ: 12. ហេតុអ្វីយើងមាននៅក្នុងការដោះស្រាយជាមួយនឹងដប់ប្រាំដោយចែកជាប្រាំ? ដូច្នេះយើងរកឃើញរបៀបជាច្រើនដងដប់ប្រាំដែលជាលទ្ធផលនៃការដែលយើងត្រូវការដើម្បីទទួលបានយ៉ាងហោចណាស់ប្រាំនាក់។ នៅក្នុងវិធីនេះយើងបានដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងមជ្ឈឹមវ័យ, វាបានក្លាយជាការត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃទីតាំងមិនពិត។

សមីការដឺក្រេ

ក្រៅពីឧទាហរណ៍ពិភាក្សាពីមុននេះមានអ្នកផ្សេងទៀតមាន។ មួយណា? សមីការដឺក្រេ, វាគឺជាអ្វី? ពួកគេមានពូថៅសំណុំបែបបទ + + bx + + ² = 0 គ។ ដើម្បីដោះស្រាយឱ្យពួកគេ, អ្នកត្រូវការដើម្បីយល់ឱ្យបានច្បាស់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងការមួយចំនួននៃគំនិតនិងច្បាប់។

ដំបូង, អ្នកត្រូវការដើម្បីស្វែងរកឌីសគ្រីមីណង់នៃរូបមន្ត: ខ ² -4ac ។ មានវិធីបីយ៉ាងដើម្បីដោះស្រាយលទ្ធផលគឺ:

• ឌីសគ្រីមីណង់គឺធំជាងសូន្យ;
• តិចជាងសូន្យ;
• គឺសូន្យ។

នៅក្នុងកំណែដំបូងដែលយើងអាចទទួលបានចម្លើយពីឫសពីរដែលត្រូវបាននេះបើយោងតាមរូបមន្ត: -B + + root នៃឌីសគ្រីមីណង់បែងចែកដោយចំនួនពីរដងមេគុណជាលើកដំបូងពោលគឺ 2a ។

ក្នុងករណីទីពីរនេះចាក់ឬសនៃសមីការទីនោះ។ ករណីទីបីជា root នៃរូបមន្ត: -B / 2a ។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយនៃសមីការដឺក្រេសម្រាប់អ្នកស្គាល់គ្នាលម្អិតបន្ថែមទៀត: X បានរាងជាបួនជ្រុងដកបី X បានដកប្រាំចំនួនដប់បួនស្មើសូន្យ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយនឹង, ដូចដែលបានសរសេរនៅខាងលើ, សម្លឹងមើលការរើសអើងនៅក្នុងករណីរបស់យើងវាគឺស្មើនឹង 256 ចំណាំថាចំនួនជាលទ្ធផលគឺធំជាងសូន្យ, ដូច្នេះយើងគួរតែទទួលបានការឆ្លើយតបដែលមានឫសពីរ។ ជំនួសនៅក្នុងរូបមន្តទទួលបានសម្រាប់ការស្វែងរកឌីសគ្រីមីណង់ឫស។ ជាលទ្ធផលយើងមាន: X បានស្មើប្រាំនាក់និងដកមួយភាគបី។

ករណីពិសេសក្នុងសមីការដឺក្រេ

ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការនៅក្នុងការដែលមានសូន្យតម្លៃ (a, b ឬ c) និងអាចច្រើនជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ពិចារណាសមីការខាងក្រោមដែលជាការ៉េមួយ X បានរាងជាបួនជ្រុងគឺពីរស្មើសូន្យនៅទីនេះយើងឃើញថា b និង c គឺស្មើទៅនឹងសូន្យ។ តោះយើងព្យាយាមដើម្បីដោះស្រាយវា, សម្រាប់ការថាភាគីទាំងពីរនៃការបែងចែកដោយចំនួនពីរ, យើងមាន: x ² = 0 ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន X = 0 ។

ករណីមួយទៀតគឺ 16x ² = 0 -9 ។ នៅទីនេះមានតែខនេះ = 0 ។ យើងបានដោះស្រាយសមីការ, មេគុណនៃការផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្ដាំដៃ: 16 x ² = 9, ឥឡូវនេះគឺជាផ្នែកមួយគ្នាត្រូវបានបែងចែកដោយដប់ប្រាំមួយប្រាំបួន x ² = ដប់ប្រាំមួយ។ ចាប់តាំងពីពេលដែលយើងបាន x ការេ, ឬសការ៉េនៃ 9/16 អាចជាអវិជ្ជមានឬវិជ្ជមាន។ ចម្លើយនេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: X គឺស្មើទៅនឹងបូក / ដកបីភាគបួន។

អាចធ្វើបាននិងចម្លើយនេះ, ដូចជាឫសនៃសមីការនេះមិន។ សូមពួកយើងមើលឧទាហរណ៍ដូចខាងក្រោម: 5 × ² + 80 = 0, ដែលជាកន្លែងដែលខ = 0 ។ ក្នុងគោលបំណងដើម្បីដោះស្រាយរយៈពេលថេររាលដាលទៅផ្នែកខាងស្ដាំ, បន្ទាប់ពីជំហាននេះយើងទទួលបាន: ² = -80 5x ហើយឥឡូវជាផ្នែកមួយគ្នាត្រូវបានបែងចែកដោយប្រាំ: x ² = ដកដប់ប្រាំមួយ។ ប្រសិនបើមានលេខណាការ៉េតម្លៃអវិជ្ជមានដែលយើងទទួលបាន។ នៅថ្ងៃនេះចម្លើយរបស់យើងគឺ: នៅឫសនៃសមីការទីនោះ។

trinomial ការ decomposition

ដោយសមីការដឺក្រេភារកិច្ចអាចស្តាប់នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត: ដើម្បី decompose នេះ trinomial សមីការទៅជាកត្តា។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្តដូចខាងក្រោម: ក (X-x ₁₎ (X-x _{2) ។} សម្រាប់ការនេះដូចនៅក្នុងតំណាងសេចក្ដីយោងផ្សេងទៀត, វាគឺជាការចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឌីសគ្រីមីណង់មួយ។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ដូចខាងក្រោម: 3x ² -14h-5, decompose នៅលើ trinomial mnozheteli ។ ស្វែងរកដោយប្រើរូបមន្តឌីសគ្រីមីណង់រួចទៅហើយដែលគេស្គាល់ថាវាត្រូវបានរកឃើញថាមាន 256 ឥឡូវចំណាំថា 256 គឺធំជាងសូន្យដូច្នេះសមីការនឹងមានឫសពីរ។ រកឃើញពួកវាដូចជានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន, យើងមាន: X = ដកប្រាំនាក់និងមួយភាគបី។ ប្រើរូបមន្តសម្រាប់ trinomial decomposition លើ mnozheteli 3 (X-5) (x + 1/3) ។ នៅក្នុងតង្កៀបទីពីរនេះយើងមានសញ្ញាស្មើដោយសារតែរូបមន្តគឺសញ្ញាដកមានតម្លៃនិងជា root ផងដែរគឺអវិជ្ជមានដោយប្រើចំណេះដឹងមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យា, ក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដែលយើងមានសញ្ញាបូកមួយ។ ដើម្បីឱ្យស្រួលយល់យើងគុណដំបូងនិងអាណត្តិទីបីនៃសមីការដើម្បីកម្ចាត់នៃប្រភាគ: (X-5) (x + 1) ។

សមីការកាត់បន្ថយទៅការ៉េ

ក្នុងផ្នែកនេះយើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការស្មុគ្រស្មាញកាន់តែច្រើន។ យើងចាប់ផ្តើមភ្លាមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0 យើងអាចកត់សម្គាល់ឃើញកើតឡើងធាតុ: (X ² - 2x), ងាយស្រួលដល់យើងរកដំណោះស្រាយដើម្បីជំនួសវាជាមួយអថេរផ្សេងទៀត, ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការដឺក្រេធម្មតាភ្លាម ចំណាំថានៅក្នុងភារកិច្ចនេះយើងទទួលឫសបួន, វាមិនគួរបន្លាចអ្នក។ អថេរពាក្យផ្ទួននិង denote ។ យើងទទួលបាន ² 2A-3 = 0 ។ ជំហានបន្ទាប់របស់យើង - គឺដើម្បីស្វែងរកសមីការឌីសគ្រីមីណង់ថ្មី។ យើងទទួលបាន 16, យើងបានរកឃើញឫសពីរ: ដកមួយនិងបី។ យើងត្រូវចាំថាយើងបានធ្វើការជំនួស, ជំនួសតម្លៃទាំងនេះជាលទ្ធផលមួយដែលយើងមានសមីការ: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3 ។ ដោះស្រាយពួកគេនៅក្នុងការឆ្លើយតបជាលើកដំបូង: x គឺជាការមួយដែលជាលើកទីពីរ: x គឺជាដកមួយនិងបី។ សរសេរចម្លើយដូចខាងក្រោម: បូក / ដកមួយនិងបី។ ជាធម្មតា, ចម្លើយត្រូវបានសរសេរក្នុងលំដាប់ឡើង។

គូប

សូមឱ្យយើងពិចារណាជម្រើសមួយផ្សេងទៀត។ វាជាអំពីសមីការគូប។ ពួកគេមានសំណុំបែបបទ: + + bx ពូថៅ ³ + + CX + + ² ឃ = 0 ។ ឧទាហរណ៍នៃសមីការយើងពិចារណាបន្ថែមទៀតនិងដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយទ្រឹស្តីតិចតួច។ ពួកគេអាចមានឫសទាំងបីដូចជាមានរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគូបនេះ។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ: 3 + ³ 4 ² + 2 = 0 ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយវា? ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគ្រាន់តែយកចេញតង្កៀប X: X (3 + ² 4 + 2) = 0 ។ អ្វីដែលយើងត្រូវធ្វើ - គឺដើម្បីគណនាឫសនៃសមីការនេះនៅក្នុងវង់ក្រចក។ ឌីសគ្រីមីណង់សមីការដឺក្រេនៃក្នុងការវង់ក្រចកនេះគឺតិចជាងសូន្យនៅលើមូលដ្ឋាននេះមានការបញ្ចេញមតិជា root មួយ: X = 0 ។

ពិជគណិត។ សមីការ

សូមចូលទៅកាន់ការមើលឃើញបន្ទាប់។ ឥឡូវនេះយើងពិចារណាយ៉ាងខ្លីអំពីសមីការពិជគណិតនេះ។ មួយក្នុងចំណោមភារកិច្ចនេះគឺមានដូចខាងក្រោម: វិធីសាស្រ្តនៃក្រុមនេះបាន រីករាលដាលចេញនៅលើ mnozheteli ^{3 4} 2 + 3 + 8 × ² + 2 + 5 ។ វិធីសាស្ត្រងាយស្រួលបំផុតជាក្រុមដូចខាងក្រោម: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + + (2x ³ + 2) + + (5 × ² 5) ។ ចំណាំថាការ 8 × ² ពីការបញ្ចេញមតិជាលើកដំបូងដែលយើងបានបង្ហាញថាជាផលបូកនៃ 3 និង ² 5x ^{2 ។} ឥឡូវនេះយើងបានយកចេញពីគ្នានៃតង្កៀប 3 កត្តាទូទៅ ² (x2 + + 1) 2 + + (x ² +1) 5 ⁽² x +1) ។ យើងមើលឃើញថាយើងមានកត្តាទូទៅ: X បានការេបូកមួយដើម្បីធ្វើឱ្យវាចេញនៃតង្កៀប: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5) ។ ការ decomposition បន្ថែមទៀតគឺជាការមិនអាចធ្វើទៅបាន, ចាប់តាំងពីសមីការទាំងពីរមានឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន។

សមីការ transcendental

ផ្តល់ជូននូវការដោះស្រាយជាមួយនឹងប្រភេទបន្ទាប់។ សមីការនេះដែលមានមុខងារ transcendental, ឈ្មោះ, លោការីតត្រីកោណមាត្រឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍: 6sin ² x + 1 = tgx 0, x + 5lgx = 3 និងដូច្នេះនៅលើ។ របៀបដែលពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយ, អ្នកនឹងរៀនពីត្រីកោណមាត្រ។

មុខងារ

ដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃគំនិត, ពិចារណាមុខងារសមីការ។ មិនដូចកំណែមុន, ប្រភេទនេះមិនអាចត្រូវបានដោះស្រាយនិងក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្អែកលើវា។ ចំពោះសមីការនេះគឺមានតម្លៃផងដែរដើម្បីវិភាគដើម្បីស្វែងរកពិន្ទុសម្រាប់ការកសាងទាំងអស់ចាំបាច់, គណនាពិន្ទុអតិបរមានិងអប្បបរមា។