សមីការរបស់យន្តហោះនេះ: របៀបដើម្បីធ្វើឱ្យ? ប្រភេទសមីការយន្តហោះ

ទំហំដែលយន្ដហោះនេះអាចត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា (មួយនិងវ៉ិចទ័រចំណុច, វ៉ិចទ័រនិងចំណុចពីរ, បីពិន្ទុ, ល) ។ វាគឺជាមួយនេះនៅក្នុងចិត្ត, សមីការយន្តហោះនេះអាចមានប្រភេទផ្សេងគ្នា។ ដូចគ្នានេះផងដែរក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនយន្តហោះអាចមានប៉ារ៉ាឡែល, កាត់កែង, ប្រសព្វគ្នាល នៅថ្ងៃនេះហើយនឹងនិយាយនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងនឹងរៀនដើម្បីធ្វើឱ្យសមីការទូទៅនៃយន្តហោះនិងមិនតែប៉ុណ្ណោះ។

សំណុំបែបបទធម្មតានៃសមីការ

ឧបមាថា៛គឺមានទំហំ _{3 ដែលមានរាងចតុកោណកែងមួយកូអរដោណេ} XYZ របស់។ យើងបានកំណត់αវ៉ិចទ័រមួយដែលនឹងត្រូវបានដោះលែងពីចំណុចចាប់ផ្តើមចុងតាមរយៈវីឌអូវ៉ិចទ័រនេះαគូរ P បានយន្តហោះដែលជាការកាត់កែងទៅវា។

បញ្ជាក់ P បាននៅបំពានចំនុច Q = (x, y, z) ។ វ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q លិខិតសញ្ញាទំ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះស្មើα = IαIនិងទំ = Ʋ (cosα, cosβ, cosγ) ។

វ៉ិចទ័រអង្គភាពនេះដែលត្រូវបានដឹកនាំនៅក្នុងទិសដៅដែលជាαវ៉ិចទ័រនេះ។ α, βនិងγ - មានមុំដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងវ៉ិចទ័រនិងទិសដៅវិជ្ជមានƲអ័ក្សអវកាស x, y, z រៀងគ្នា។ ការព្យាករនៃចំណុចនៅលើវ៉ិចទ័រQεPƲមួយនេះគឺថេរដែលស្មើនឹងទំ (ទំ, Ʋ) = ទំ (r≥0) មួយ។

សមីការខាងលើនេះគឺមានអត្ថន័យនៅពេលដែលទំ = 0 ។ យន្តហោះ n តែនៅក្នុងករណីនេះនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចអូរ (α = 0) ដែលជាប្រភពដើមនិងƲអង្គភាពវ៉ិចទ័រដែលបានចេញផ្សាយពីឱចំណុចនេះនឹងត្រូវកាត់កែងទៅ P បានទោះបីជាទិសដៅរបស់ខ្លួនដែលមានន័យថាƲវ៉ិចទ័រដែលបានកំណត់ ឡើងទៅសញ្ញានេះ។ សមីការមុនគឺជាយន្តហោះ P របស់យើងបានសម្តែងនៅក្នុងសំណុំបែបបទវ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃកូអរដោនេរបស់វាគឺ:

P បានគឺធំជាងឬស្មើ 0 យើងបានរកឃើញសមីការយន្ដហោះនេះនៅក្នុងសំណុំបែបបទធម្មតា។

សមីការទូទៅ

ប្រសិនបើមានសមីការក្នុងកូអរដោនេបានគុណដោយលេខដែលមិនស្មើសូន្យណាមួយដែលយើងទទួលបានសមមូលសមីការទៅនេះដែលកំណត់យន្តហោះខ្លាំងណាស់។ វានឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម:

នៅទីនេះ, A, B, C - នេះគឺជាចំនួននៃពេលដំណាលគ្នាខុសពីសូន្យ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ទូទៅនៃយន្តហោះនោះ។

សមីការយន្តហោះ។ ករណីពិសេស

សមីការនេះជាទូទៅអាចត្រូវបានកែប្រែដោយមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ សូមពិចារណាមួយចំនួននៃពួកគេ។

សន្មត់ថាមេគុណមួយនេះគឺ 0 នេះបង្ហាញថាការស្របហោះទៅអ័ក្សកំណត់ទុកជាមុនគោ។ ក្នុងករណីនេះ, ទម្រង់នៃការផ្លាស់ប្តូរសមីការនេះ: លោក Wu + + + D = Cz 0 ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរសំណុំបែបបទនៃសមីការហើយនឹងប្រែប្រួលដោយមានលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមនេះ:

• ដំបូង, ប្រសិនបើ B = 0, ការផ្លាស់ប្តូរដើម្បីប Ax + + សមីការ + D = Cz 0, ដែលនឹងបង្ហាញថាស្របទៅនឹងអ័ក្សឪ្យបាន។
• ទីពីរប្រសិនបើគ = 0, សមីការនេះត្រូវបានប្លែងទៅប Ax + + + D = តាម 0, ថាគឺដើម្បីនិយាយអំពីការស្របទៅនឹងអ័ក្សដែលបានកំណត់ទុកជាមុនដែលបានល្បីឈ្មោះ។
• ទីបី, ប្រសិនបើ D, = 0, សមីការនេះនឹងលេចឡើងជាប Ax + + + + Cz ដោយ = 0 ដែលមានន័យថាយន្ដហោះនេះពាក់ព័ន្ធអូរ (ដើម) ។
• ទីបួន, បើ A = B = 0, ការផ្លាស់ប្តូរសមីការដើម្បី Cz + D = 0, ដែលនឹងបង្ហាញដល់ parallelism Oxy ។
• ទីប្រាំ, បើ B = C = 0, សមីការក្លាយជាប Ax + D = 0 ដែលមានន័យថាយន្តហោះនេះគឺស្របទៅនឹង Oyz ។
• Sixthly, បើ A = C = 0, សមីការត្រូវការសំណុំបែបបទមួយលោក Wu + D = 0 ឧទាហរណ៍, នឹងរាយការណ៍ទៅ Oxz ស្របនោះទេ។

សំណុំបែបបទនៃសមីការក្នុងផ្នែកនេះ

ក្នុងករណីដែលជាកន្លែងដែលមានលេខ A, B, C, D ខុសពីសូន្យសំណុំបែបបទនៃសមីការ (0) អាចមានដូចខាងក្រោម:

x / a + ខ / Y + Z / C = 1,

ម្ល៉ោះជា = -d / A, B = -d / B, C = -d / គ

យើងទទួលជាសមីការលទ្ធផលនៃយន្ដហោះនេះនៅក្នុងបំណែក។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាយន្តហោះនេះនឹងត្រូវបានប្រសព្វអ័ក្ស x នៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (មួយ 0,0), ឪ្យបាន - (0, ខ, 0) និងល្បីឈ្មោះ - (0,0, s បាន) ។

ដែលបានផ្ដល់ឱ្យសមីការ x / a + ខ / Y + Z / C = 1, វាមិនមែនជាការលំបាកក្នុងការមើលឃើញយន្តហោះដាក់ទាក់ទងទៅជាប្រព័ន្ធកំណត់ទុកជាមុនសំរបសំរួល។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា

វ៉ិចទ័រ n ធម្មតាទៅយន្តហោះ P ដែលមានកូអរដោនេដែលមានមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះឧទាហរណ៍ n (A, B, C) ។

ក្នុងគោលបំណងដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃ n ធម្មតាវាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងថាសមីការទូទៅដែលបានផ្ដល់ឱ្យយន្តហោះ។

នៅពេលដែលការប្រើប្រាស់សមីការក្នុងវិស័យដែលមានទម្រង់ X / a + ខ / Y + Z / c = 1 ដែលជាពេលដែលការប្រើប្រាស់សមីការទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាណាមួយយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ: (1 / a + 1 / B + 1 / គ) ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃការជួយដោះស្រាយបញ្ហានានា។ នេះជាបញ្ហាទូទៅបំផុតគឺត្រូវមាននៅក្នុងយន្តហោះកាត់កែងឬស្របភស្តុតាង, ភារកិច្ចនៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះឬមុំរវាងយន្តហោះនិងបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

បើយោងទៅតាមការវាយសមីការយន្តហោះនិងកូអរដោនេរបស់វ៉ិចទ័រធម្មតាចំណុច

ការ n សូន្យវ៉ិចទ័រ, កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ដែលហៅថាធម្មតា (ធម្មតា) ដើម្បីយន្តហោះដែលបានកំណត់ទុកជាមុន។

ឧបមាថានៅក្នុងចន្លោះសំរបសំរួល (ចតុកោណប្រព័ន្ធកូអរដោណេ) Oxyz កំណត់:

• ចំណុចMₒដែលមានកូអរដោនេ (hₒ, uₒ, zₒ);
• សូន្យវ៉ិចទ័រ n = * + B * i j + C * មាន k មួយ។

អ្នកត្រូវការដើម្បីធ្វើឱ្យសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់តាមរយៈចំណុចMₒកាត់កែងទៅ n ធម្មតា។

ក្នុងចន្លោះដែលយើងជ្រើសរើសយកចំណុចបំពានណាមួយនិងបញ្ជាក់ M (x, y, z) ។ សូមឱ្យវ៉ិចទ័រកាំនៃការតាមដានចំណុចគ្នា (x, y, z) នឹងមានការ r = x * i + Y * J + Z * K និងវ៉ិចទ័រកាំនៃMₒចំណុចមួយ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + + zₒ * មាន k ។ M ចំនុចមួយនេះនឹងជារបស់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើMₒMវ៉ិចទ័រដែលត្រូវបានកាត់កែងទៅវ៉ិចទ័រ n ។ យើងបានសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃការប្រើប្រាស់ផលិតផល Scalar កែងនេះ:

[MₒM, n] = 0 ។

ចាប់តាំងពីពេលMₒM = r-rₒ, សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ:

[៛ - rₒ, n] = 0 ។

សមីការនេះអាចមានរូបរាងផ្សេងទៀត។ ចំពោះគោលបំណងនេះលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផល Scalar និងបានបម្លែងជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ [៛ - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n] ។ ប្រសិនបើ [rₒ, n] តាងដែលជារបស់យើងទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម: [r, n] - មួយ = 0 ឬ [r, n] = s ដែលសម្តែងដោយឥតឈប់ឈរនៃការព្យាករនៅលើវ៉ិចទ័រធម្មតានៃកាំវ៉ិចទ័រនៃពិន្ទុដែលបានផ្ដល់ឱ្យថាជារបស់យន្តហោះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចទទួលបានការសំរបសំរួលយន្តហោះប្រភេទថតសមីការវ៉ិចទ័ររបស់យើង [r - rₒ, n] = 0 តាំងពី R-rₒ = (X-hₒ) * i + + (Y-uₒ) * J + + (z-zₒ) * k, និង n = * + B * i j + C * មាន k មួយ, យើងមាន:

វាប្រែថាយើងមានសមីការនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរយៈយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅ n ធម្មតា:

* ការ (X hₒ) + B * (Y uₒ) របស់ S * (z-zₒ) = 0 ។

បើយោងទៅតាមការវាយសមីការយន្តហោះនិងកូអរដោនេនៃចំណុចពីរនេះកូលីនេអ៊ែរយន្តហោះវ៉ិចទ័រ

យើងកំណត់ថា M បានពីរពិន្ទុបំពាន '(x, y, z) និង M "(X" y ", z") ព្រមទាំងវ៉ិចទ័រ (a ", ជា" ‴មួយ) ។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមីការកំណត់ទុកជាមុនដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់តាមរយៈការ M បានចំណុចដែលមានស្រាប់ "និង M" និងចំណុចគ្នាជាមួយនឹងការតាមដានកូអរដោនេ (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ M'M X = {x, y-y '; zz'} និង M "M = {X" -X 'y' y '; Z "-z'} គួរតែមានការ coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រនេះ មួយ = (មួយ ", ជា" ‴មួយ) ដែលមានន័យថា (M'M M "M បានមួយ) = 0 ។

ដូច្នេះសមីការរបស់ពួកយើងនៃយន្តហោះនៅក្នុងចន្លោះមួយនឹងមើលទៅដូចនេះ:

ប្រភេទនៃសមីការយន្តហោះឆ្លងកាត់បីពិន្ទុ

សូមឱ្យយើងបាននិយាយថាយើងមានបីចំណុច: (x ', y, z), (X', y, z), (X ‴មាន‴, z ‴) ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ដូចគ្នា។ វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បានបីពិន្ទុដែលបានបញ្ជាក់។ ទ្រឹស្តីធរណីមាត្រអះអាងថាប្រភេទនៃយន្តហោះនេះមិនមាន, វាគ្រាន់តែជាមួយនិងតែមួយគត់។ ចាប់តាំងពីពេលយន្តហោះនេះពាក់ព័ន្ធចំនុច (x, y, z) ទម្រង់សមីការរបស់ខ្លួននឹងត្រូវ:

នៅទីនេះ, A, B និង C គឺមានភាពខុសគ្នាពីសូន្យនៅពេលដូចគ្នានេះ។ យន្តហោះដែលបានផ្ដល់ឱ្យផងដែរបានពិន្ទុចំនួនពីរបន្ថែមទៀតពាក់ព័ន្ធ (X "y", z ") និង (x ‴, y ‴, z ‴) ។ នៅក្នុងការតភ្ជាប់នេះគួរតែត្រូវបានអនុវត្តប្រភេទនៃស្ថានភាពនេះ:

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធឯកសណ្ឋាន នៃសមីការ (លីនេអ៊ែរ) ជាមួយដែលមិនស្គាល់ u, v, w:

ក្នុងករណីរបស់យើង X, Y ឬ Z ឈរចំណុចបំពានដែលបានបំពេញសមីការ (1) ។ ដោយពិចារណាសមីការ (1) និងប្រព័ន្ធនៃសមីការ (2) និង (3) ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងតួលេខខាងលើនេះ, ការពេញចិត្តវ៉ិចទ័រ N (A, B, C) ដែលជា nontrivial ។ វាគឺដោយសារតែកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺសូន្យ។

សមីការ (1) ដែលយើងបានទទួល, នេះគឺជាសមីការរបស់យន្តហោះនេះ។ 3 នាងពិតជាបានទៅចំណុចហើយវាជាការងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបានពង្រីកកំណត់ដោយធាតុនៅក្នុងជួរដេកដំបូង។ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានស្រាប់ determinant ថាយន្ដហោះរបស់យើងខាងក្រោមក្នុងពេលដំណាលគ្នាពាក់ព័ន្ធចំណុចដែលបានកំណត់ទុកជាមុនពីដំបូងចំនួនបី (x, y, z), (X "y", z "), (X ‴, y ‴, z ‴) ។ ដូច្នេះយើងបានសម្រេចចិត្តដើម្បីភារកិច្ចនៅចំពោះមុខយើង។

មុំ Dihedral រវាងយន្តហោះ

មុំ Dihedral គឺរាងធរណីមាត្រទំហំយន្តហោះបង្កើតឡើងដោយពាក់កណ្តាលចំនួនពីរដែលមានតាំងពីកំណើតមក-ពីបន្ទាត់ត្រង់។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតដែលជាផ្នែកមួយនៃចន្លោះដែលត្រូវបានកំណត់ទៅជាយន្តហោះពាក់កណ្តាល។

សន្មតថាយើងមានយន្តហោះពីរជាមួយសមីការដូចខាងក្រោម:

យើងដឹងថាវ៉ិចទ័រដែល N = (A, B, C) និងN¹ = (A¹, H¹, S¹) នេះបើយោងតាមយន្តហោះបានកំណត់ទុកជាមុនកែងគ្នា។ ក្នុងន័យនេះ, មុំφរវាងវ៉ិចទ័រ N និងN¹មុំស្មើ (dihedral) ដែលមានទីតាំងស្ថិតនៅរវាងយន្តហោះទាំងនេះ។ ផលិតផល Scalar ត្រូវបានផ្ដល់ដោយ:

NN¹ = | N || N¹ | φ cos,

ច្បាស់ណាស់ពីព្រោះ

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + + + + VV¹SS¹) / ((√ (A² + + + + V²s²)) * (√ (A¹) ² + + (H¹) ² + + (S¹) ការ៉េ)) ។

វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណា0≤φ≤πនោះ។

តាមការពិតចំនួនពីរដែលប្រសព្វគ្នាយន្តហោះទម្រង់ពីរមុំ (dihedral): φ ₁ និងφ _{2 ។} ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើទៅនឹងπ (φ ₁ + ₂ = πφ) ។ ដូចជាសម្រាប់កូស៊ីនុសរបស់ពួកគេ, តម្លៃដាច់ខាតរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នាទេប៉ុន្តែពួកគេមានសញ្ញាផ្សេងគ្នានោះគឺ, cos φ ₁ = -cos φ _{2 ។} ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (0) ត្រូវបានជំនួសដោយ A, B និង C នៃ -A, -B និង -C រៀង, សមីការនេះយើងទទួលបាន, នឹងកំណត់យន្តហោះដូចគ្នានេះដែរតែφក្នុងមុំφ cos NN ¹ សមីការ = / | លេខ || លេខ ¹ | វានឹងត្រូវបានជំនួសដោយπ-φ។

សមីការរបស់យន្ដហោះកាត់កែងនេះ

ដែលគេហៅកាត់កែងយន្តហោះរវាងដែលមុំគឺ 90 ដឺក្រេ។ ដោយប្រើសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញខាងលើយើងអាចរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះមួយដែលបានកាត់កែងទៅទៀត។ សន្មតថាយើងមានយន្តហោះពីរ: ប Ax + + + + Cz ដោយ + D = 0, + + A¹hV¹uនិង + D, S¹z = 0 ។ យើងអាចនិយាយបានថាពួកគេមានកែងប្រសិនបើ cos = 0 ។ នេះមានន័យថាNN¹ = AA¹ + + + + = VV¹SS¹ 0 ។

សមីការរបស់យន្តហោះស្របមួយ

វាសំដៅដល់យន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលពីរដែលមានពិន្ទុនោះទេនៅក្នុងទូទៅ។

ស្ថានភាពនេះ យន្តហោះស្រប (សមីការរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន) គឺថាវ៉ិចទ័រ N និងN¹ដែលជាកាត់កែងទៅគេថា: កូលីនេអ៊ែរ។ នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមនេះត្រូវបានបំពេញសមាមាត្រ:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹។

ប្រសិនបើមានលក្ខខណ្ឌសមាមាត្រត្រូវបានពង្រីក - មួយ / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

នេះបង្ហាញថាយន្តហោះទិន្នន័យនៃដូចគ្នានេះ។ នេះមានន័យថាប Ax + + សមីការ + + ដោយ + D = Cz 0 ហើយ + A¹hV¹uS¹z + + D¹ = + + 0 រៀបរាប់យន្តហោះមួយ។

ចម្ងាយពីចំណុចទៅយន្តហោះនេះ

សន្មតថាយើងមាន P បានយន្តហោះដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ (0) ។ វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ។ , អ្នកត្រូវការដើម្បីនាំយកសមីការក្នុងរូបរាងធម្មតាយន្តហោះទី II ដើម្បីធ្វើឱ្យវា:

(Ρ, v) = ទំ (r≥0) ។

ក្នុងករណីនេះρ (x, y, z) គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q, ដែលមានទីតាំងស្ថិតនៅលើ n ទំព័ររបស់យើង - n ជាប្រវែងនៃការកាត់កែងដែលត្រូវបានចេញផ្សាយពីចំណុចសូន្យ, ជួប - គឺវ៉ិចទ័រឯកតាដែលត្រូវបានរៀបចំនៅក្នុងទិសដៅមួយ។

ភាពខុសគ្នាρ-ρºវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q មួយ = (x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ n និងវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចដែលផ្ដល់ឱ្យសំណួ ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលជាតម្លៃដាច់ខាតនៃការព្យាករដែលនៅលើ ជួបស្មើចម្ងាយឃដែលគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីរកឱ្យឃើញពីសំណួរ = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ដើម្បី P បាន:

D បាន = | (ρ-ρ ^0, v) | ទេប៉ុន្តែ

(ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ⁰ v) = ទំ (ρ ⁰ v) ។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ,

ឃ = | (ρ ⁰ v) ទំ | ។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាដើម្បីគណនាចម្ងាយ d ពី ₀ ទៅយន្តហោះសំណួរ P បាន, វាគឺជាការចាំបាច់ក្នុងការប្រើប្រាស់សមីការយន្តហោះទិដ្ឋភាពធម្មតា, ការផ្លាស់ប្តូរទៅខាងឆ្វេងនៃទំព័រនិងកន្លែងចុងក្រោយនៃ x, y, ជំនួស z (hₒ, uₒ, zₒ) ។

ដូច្នេះយើងរកឃើញថាតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោមលទ្ធផលដែលត្រូវបានទាមទារឃ។

ដោយប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃភាសានោះយើងទទួលបានការជាក់ស្តែងនេះ:

ឃ = | Ahₒ + CzₒVuₒ | / √ (A² + + + + s²V²) ។

ប្រសិនបើមានចំនុច Q ដែលបានបញ្ជាក់ ₀ គឺនៅលើផ្នែកម្ខាងទៀតនៃយន្តហោះ P ដែលជាប្រភពដើមបន្ទាប់មករវាងវ៉ិចទ័រដែលρ ⁰ និង-ρជួបគឺ ជាមុំ obtuse, ដូច្នេះ:

ឃ = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0 ។

ក្នុងករណីនៅពេលដែលចំនុច Q ₀ នៅក្នុងការភ្ជាប់ជាមួយប្រភពដើមដែលមានទីតាំងស្ថិតនៅលើខាងតែមួយដូចគ្នានៃលោក U ដែលជាមុំស្រួចត្រូវបានបង្កើតនោះគឺ:

d = (ρ-ρ ^0, v) = ទំ - (ρ ⁰ v)> 0 ។

លទ្ធផលគឺថានៅក្នុងករណីអតីត (ρ ⁰ v)> ទំនៅក្នុងទីពីរនេះ (ρ ⁰ v)

តង់សង់និងសមីការយន្តហោះរបស់ខ្លួន

ទាក់ទងនឹងយន្តហោះទៅលើផ្ទៃនៅចំណុចនៃMº tangency នេះ - យន្តហោះដែលមានតង់ហ្សង់អាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅខ្សែកោងគូរតាមរយៈចំណុចនៅលើផ្ទៃនោះ។

ជាមួយនឹងសំណុំបែបបទផ្ទៃនេះនៃសមីការយន្តហោះ F (x, y, z) = 0 នៅក្នុងសមីការនៃMºចំណុចតង់សង់យន្តហោះតង់សង់ (hº, uº, zº) នឹងត្រូវបាន:

ស្រី _X (hº, uº, zº) (hº X) + F _X (hº, uº, zº) (uº Y) + F _X (hº, uº, zº) (z-zº) = 0 ។

ប្រសិនបើមានផ្ទៃត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់ = f z (x, y), បន្ទាប់មកយន្តហោះតង់សង់ត្រូវបានបកស្រាយដោយសមីការ:

z-zº = f (hº, uº) (hº X) + F (hº, uº) (Y uº) ។

ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងពីរនេះ

ក្នុង អវកាសបីវិមាត្រ គឺជាការសំរបសំរួលប្រព័ន្ធ (ចតុកោណ) Oxyz, ផ្តល់ឱ្យយន្តហោះទាំងពីរ P "និង P" ដែលត្រួតលើគ្នានិងមិនស្របគ្នា។ ចាប់តាំងពីពេលយន្តហោះណាមួយដែលមាននៅក្នុងរាងចតុកោណកែងមួយកូអរដោណេដែលបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅយើងសន្មត់ថា 'n និង n "ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនេះ A'x + + + + + + V'u S'z D,' = 0 និង A" + B x + y ជាមួយ "z + D" = 0 ។ ក្នុងករណីនេះយើងមាន n ធម្មតា '(A', B, C, ') របស់យន្តហោះ P បាន' ហើយ n ធម្មតា "(មួយ" ខ ", C") របស់យន្តហោះ P បាននេះ។ ក្នុងនាមជាយន្តហោះរបស់យើងមិនត្រូវស្របនិងមិនស្របគ្នា, បន្ទាប់មកទាំងនេះមិនត្រូវវ៉ិចទ័រកូលីនេអ៊ែរ។ ដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា, យើងមានជំងឺនេះអាចត្រូវបានគេសរសេរជា: 'n ≠ n "↔ (មួយ', B, C, ') ≠ (λ * ហើយ»λ * នៅក្នុង", λ * គ ") λεR។ សូមឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ដែលស្ថិតនៅ P ចំនុចប្រសព្វ "និង P" នឹងត្រូវបានតាងដោយលិខិតមួយច្បាប់ក្នុងករណីនេះ = P "∩ P បាន" ។

និង - បន្ទាត់ដែលមានពហុភាពនៃពិន្ទុយន្តហោះ (ជាទូទៅ) P "និង P" មួយ។ នេះមានន័យថាកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទៅបន្ទាត់មួយ, ដំណាលគ្នាត្រូវតែបំពេញសមីការ A'x + + + + + + V'u S'z D, '= 0 និង A "x + b + C Y" z + D "= 0 ។ នេះមានន័យថាកូអរដោនេនៃចំណុចនេះនឹងមានជាដំណោះស្រាយមួយនៃសមីការពិសេសដូចខាងក្រោម:

លទ្ធផលគឺថាដំណោះស្រាយនេះ (ទូទៅ) នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះនឹងកំណត់កូអរដោនេនៃនីមួយនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់ដែលនឹងធ្វើជាចំនុចប្រសព្វ P "និង P បាន" និងបានកំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងកូអរដោណេ Oxyz ចន្លោះ (ចតុកោណ) មួយ។